Jean Brette (Palais de la découverte)

La surface d'un film de savon tendu sur un cadre est aussi belle qu'économique. C'est une surface minimale. Pourquoi minimale ?

Parce que, parmi toutes les surfaces s'appuyant sur un tel cadre c'est celle qui a la plus petite aire. En architecture, ces très belles surfaces nécessiteront une moindre quantité de matériaux, mais cette simplicité est trompeuse : de telles surfaces sont difficiles à calculer et à construire. Pour des raisons d'ordre esthétique, le célèbre architecte allemand. Frei Otto a utilisé les surfaces minimales et parfois devancé les études des mathématiciens. Ici la structure de l'église de Bremen-Grolland reproduit la souplesse gracile d'une bulle de savon s'appuyant sur deux demi-cercles. Aujourd'hui encore les surfaces minimales inspirent des projets architecturaux comme le montre cette maquette qui vient de gagner le concours pour la prolongation de la gare de Stuttgart. Au Palais de la Découverte, Jean Brette nous montre comment les mathématiciens s'y sont pris pour comprendre ces intrigantes surfaces.

Jean Brette : Avec un peu d'eau et du savon, chacun sait qu'on peut faire des bulles. Mais enfin les bulles, une fois qu'on en a vu une, on les a toutes vues. Elles sont sphériques. On sait moins qu'on peut également fabriquer des objets beaucoup plus complexes. Par exemple en prenant un morceau de fil rigide, fil électrique et en le plongeant dans de l'eau savonneuse, on va obtenir une membrane de savon, aux formes assez compliquées, sur lesquelles on peut se poser un certain nombre de questions. Par exemple si on est physicien, on peut s'interroger pour savoir d'où viennent les couleurs, pourquoi cette membrane est tendue. On peut s'interroger pour savoir quelle est l'évolution, à quoi sert le savon, pourquoi elle explose, comment elle explose, etc ... Pour les mathématiciens c'est un peu différent, l'idée que cette membrane est suffisamment fine pour être assimilée à une surface, au sens mathématique, est la question essentielle que les mathématiciens vont se poser c'est : est-ce que ces surfaces qu'on obtient comme ça avec de l'eau savonneuse, possèdent des propriétés géométriques particulières ?
Alors, ces surfaces possèdent une propriété qu'on peut mettre en évidence à l'aide d'un contour beaucoup plus simple qui est ici un étrier avec un fil, donc déformable. Et puis en regardant ce qui se passe. Ce qu'on constate c'est que la membrane tire sur ce fil jusqu'à adopter effectivement la forme qui est telle que sa superficie est la plus petite possible. C'est en ce sens qu'on parle de surface minimale. Cette propriété de plus petite superficie est une propriété globale et les mathématiciens se sont interrogés pour savoir si ça avait des conséquences, des implications sur sa forme au voisinage de chaque point. Par exemple est-ce qu'une surface minimale peut être en un endroit particulier bombée comme un ballon. La réponse est non parce qu' il suffirait de la déformer pour diminuer sa superficie, donc, en un point, une surface minimale ou elle est plane, comme c'est le cas avec ce losange articulé, ou alors, si le contour n'est pas plan, et bien elle va prendre la forme d'une selle de cheval, c'est-à-dire que dans ce plan là, on a une certaine courbure, et dans ce plan là on a la même courbure, mais en sens inverse, comme on peut le vérifier. Alors ceci n'est pas caractéristique de ce contour. C'est en fait une propriété générale pour toutes les surfaces minimales. A chacun, au voisinage de chacun de leurs points, elles ont effectivement l'aspect d'une selle de cheval parfaitement symétrique. Et c'est cette propriété là, convenablement formalisée, traduite en équation, qui a permis aux mathématiciens du 19ème siècle et plus récemment, de trouver un très grand nombre de surfaces minimales.
La première surface qui a été trouvée, a été trouvée en 1752 par Euler. C'est une surface qui s'appuie en fait sur deux cercles, et vous voyez qu'elle est légèrement incurvée. La seconde surface, c'est une surface qui a été découverte par Meunier en 1776, qui est l'hélicoïde. On pourrait considérer que c'est une sorte de plan qu'on a vrillé. Apparemment, ces surfaces sont d'une part, très difficiles à trouver, et relativement rares. Et la surprise va arriver dans les années 1850-1860 avec Karl Veyerstrass, qui d'une part va donner une équation générale, une formule générale permettant de calculer des surfaces minimales, et surtout va montrer que ces surfaces ne sont pas rares du tout. En simplifiant, on peut dire que, pour obtenir une surface minimale, ce que dit Veyerstrass, c'est qu'il suffit de prendre une fonction suffisamment régulière, et à partir d'elle on pourra construire une telle surface. Donc ces surfaces sont extrêmement fréquentes et ça, ça a eu une conséquence, c'est que les gens vont arrêter d'en chercher. Par contre, il reste les problèmes particuliers, entre autres celui-ci, si on se donne un contour, par exemple celui-ci, et bien quel est le morceau de quelle surface minimale qui s'appuie sur ce contour ? Et même, est-ce que il existe une surface minimale qui s'appuie sur ce contour ? Alors le savant, lui, répond, et il répond oui. Pour les mathématiciens, il faudra attendre beaucoup plus longtemps, puisque ce résultat général, à chaque contour correspond effectivement -à chaque contour fermé, correspond une surface minimale-, sera seulement démontré par Jess Douglas en 1931. Ca lui vaudra la première médaille Fields, la plus haute distinction en mathématique. Maintenant qu'on sait qu'il y a une surface minimale, on peut s'interroger pour savoir si il y en a plusieurs. Dans le cas de ce contour, il y en a au moins une seconde, comme ceci. Maintenant la question c'est : peut-on trouver l'équation de la surface ? Et bien en général, la réponse est non, on ne sait pas le faire, c'est beaucoup trop compliqué de trouver quelle est la fonction de Veyerstrass qu'il faut. Par contre ce qu'on peut faire, c'est calculer avec une certaine approximation les coordonnées de cette surface point par point, à l'aide de techniques numériques et d'ordinateurs.
L'ordinateur permet également de visualiser des surfaces, et résume ainsi des centaines de milliers de calculs numériques. En fait, c'est même un moyen très efficace parce que les équations de Veyerstrass sont très techniques, n'ont pas de contenu géométrique intuitif, et ne permettent pas d'imaginer les formes. L'ordinateur a donc permis depuis 1984 de découvrir un très grand nombre de surfaces nouvelles, par exemple celle-ci, due à David Hoffman et Herman Carcher, qui peut être vu comme trois plans qui se couperaient à soixante degrés et qui seraient reliés entre eux par des tunnels. On peut aussi imaginer d'utiliser l'ordinateur pour voir comment une telle surface pourrait être déformée par des transformations qu'on connaissait au siècle dernier, et qui consistent à vriller effectivement la surface.

Si les mathématiques décrivent bien la physique des bulles de savon, elles s'appliquent également à tous les problèmes où l'on cherche une optimisation.